Question

【题目】如图甲，在直角梯形中，，，，过作，垂足为，现将沿折叠，使得．取的中点，连接，，，如图乙．

甲 乙

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）要证平面，即证垂直于平面两条交线，设法证明，即可

（2）以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，表示出，，，，，

求出的法向量和平面的法向量，再用二面角的余弦公式求值即可

（1）∵，，∴平面，又∵平面，∴，

又∵，，∴平面．

甲

乙

（2）如图乙，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，，，

设平面的法向量为，

由，，所以有，

∴取，得平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

由，，所以有

∴取，得平面的一个法向量为，设二面角的大小为，

则．