【题目】已知抛物线的焦点为
,准线
的方程为
.若三角形
的三个顶点都在抛物线
上,且
,则称该三角形为“向心三角形”.
(1)是否存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为和
?说明理由;
(2)设“向心三角形”的一边
所在直线的斜率为
,求直线
的方程;
(3)已知三角形是“向心三角形”,证明:点
的横坐标小于
.
【答案】(1)不存在,理由详见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
(1)由题意可知,点为
的重心,假设存在一点使得“向心三角形”存在,求得该点的坐标,代入抛物线的方程,进行判断即可;
(2)设点、
、
,利用点差法求得
,根据重心的坐标公式,求出线段
的中点坐标,然后利用点斜式方程可得出直线
的方程;
(3)由,等式两边平方,利用基本不等式可得出
,结合等式
可求出
,进而证明结论成立.
(1)由题意可知,抛物线的标准方程为,
由,可知,
为
重心,
设存在点“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为和
,另外的顶点为
,
由,解得:
,显然
,
故不存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为和
;
(2)设、
、
,
由,两式相减,得
,所以
,所以
,
由题意可知,,所以
,则
,
由,所以
,所以,线段
的中点
,
因此,直线的方程为
,整理得
.
因此,直线的方程
;
(3)由(2)可知,则
,①
由,
,
平方可得,当且仅当
时取等号,显然
,
所以,即
,
将①代入可得,解得
,
所以点的横坐标小于
.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆
与直线
相切,点A为圆
上一动点,
轴于点N,且动点满足
,设动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段的中点为T,
,
的斜率分别为
,且
,求
的取值范围.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
,且对任意的正整数
,都有
,其中常数
.设
﹒
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若且
,设
,证明数列
是等比数列;
(3)若对任意的正整数,都有
,求实数
的取值范围.
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【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.
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【题目】如图,在直三棱柱中,
,点
分别为棱
的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角为300?如果存在,求出线段
的长;如果不存在,说明理由.
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