【题目】已知数列的前
项和为
,
,且对任意的正整数
,都有
,其中常数
.设
﹒
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若且
,设
,证明数列
是等比数列;
(3)若对任意的正整数,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)详见解析(3)
【解析】
试题(1)先根据和项与通项关系,将条件转化为
,即
,再根据题设条件进行构造数列
:
,即
,最后根据等差数列定义得证(2)先根据等比数列定义明确目标:
为一个常数,因此利用
,代入化简得为
,因此
是首项为
,公比为
的等比数列,(3)先化简不等式
,实质讨论数列
:当
时,
,当
且
时,
.若
,则
,然后分别解不等式
,难点在当
且
时,需分类讨论:若
时,
,
,
,
,不符合,舍去.若
时,
,
,
,只须
即可,显然成立.故
符合条件;若
时,
,
,从而
,故
,只须
即可,于是
.
试题解析:解:∵,
,
∴当时,
,
从而,
,
﹒
又在中,令
,可得
,满足上式,
所以,
﹒
(1)当时,
,
,
从而,即
,
又,所以数列
是首项为1,公差为
的等差数列,
所以.
(2)当且
且
时,
,
又,
所以是首项为
,公比为
的等比数列,
﹒
(3)在(2)中,若,则
也适合,所以当
时,
.
从而由(1)和(2)可知
当时,
,显然不满足条件,故
.
当时,
.
若时,
,
,
,
,不符合,舍去.
若时,
,
,
,
,且
.
所以只须即可,显然成立.故
符合条件;
若时,
,满足条件.故
符合条件;
若时,
,
,从而
,
,
因为.故
, 要使
成立,只须
即可.
于是.
综上所述,所求实数的范围是
.
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【题目】已知正方体的棱长为
,点
分别为棱
的中点,下列结论中,其中正确的个数是( )
①过三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;
②/平面
;
③;
④异面直线与
所成角的正切值为
;
⑤四面体的体积等于
A.1B.2C.3D.4
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
为参数)。曲线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线,
的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,射线与曲线
交于点
,射线
与曲线
交于点
,求
的面积(其中
为坐标原点).
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【题目】如图,已知是一幢6层的写字楼,每层高均为3m,在
正前方36m处有一建筑物
,从楼顶
处测得建筑物
的张角为
.
(1)求建筑物的高度;
(2)一摄影爱好者欲在写字楼的某层拍摄建筑物
.已知从摄影位置看景物所成张角最大时,拍摄效果最佳.问:该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)?
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【题目】某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案:电脑模拟驾驶,以某速度匀速行驶,记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离).无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.
表1
停车距离 | |||||
频数 | 26 | 8 | 2 |
表2
平均每毫升血液酒精含量 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
平均停车距离 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表1数据的中位数估计值为26,回答以下问题.
(Ⅰ)求的值,并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
(Ⅱ)根据最小二乘法,由表2的数据计算关于
的回归方程
;
(Ⅲ)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于(Ⅰ)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
(附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
)
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【题目】已知抛物线的焦点为
,准线
的方程为
.若三角形
的三个顶点都在抛物线
上,且
,则称该三角形为“向心三角形”.
(1)是否存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为和
?说明理由;
(2)设“向心三角形”的一边
所在直线的斜率为
,求直线
的方程;
(3)已知三角形是“向心三角形”,证明:点
的横坐标小于
.
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【题目】
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点,l和C交于A,B两点,求
.
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