【题目】已知函数,
且
是曲线
的切线.
(1)求实数a的值以及切点坐标;
(2)求证:.
【答案】(1) ,切点为
(2)证明见解析
【解析】
(1)求出的导数,设出切点
,可得切线的斜率,由切线方程可得
的方程,解方程可得
;
(2)先通过对 求导利用函数单调性,得到
,再构造函数
,求导利用函数单调性得到
,即可求解。
解:(1)设切点为,则切线为
即
从而
消去a得:
记
则,显然
单调递减且
,
所以时,
,
单增,
时,
,
单减,故
当且仅当
时取到最大值,而
.
所以,切点为
(2)(方法一)记,
,则
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减,
∴,∴
,即
①
,
则
∴时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增
∴,即
,∴
即
②
由①②得.
(方法二)令,
则
令,易知
在
上单增,且
,
所以当时,
,从而
;
当时,
,从而
,
即在
单减,在
单增,
则的最小值为
所以当时,
,即
,
,即
,
(方法三)记,则
调递减
时,
,
单调递增,
所以,故
,等号成立当且仅当
故,等号成立当且仅当
.
欲证,只需证明
,即
记,则
从而时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
所以,,可得
,即
∴.
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【题目】“大众创业,万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据(
=1,2,…,6),如表所示:
试销单价 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量 | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知.
(Ⅰ)求出的值;
(Ⅱ)已知变量具有线性相关关系,求产品销量
(件)关于试销单价
(元)的线性回归方程
;
(参考公式:线性回归方程中,
的最小二乘估计分别为
,
)
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【题目】在直角坐标系中,已知圆
与直线
相切,点A为圆
上一动点,
轴于点N,且动点满足
,设动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段的中点为T,
,
的斜率分别为
,且
,求
的取值范围.
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【题目】函数(其中
)的部分图象如图所示,把函数
的图像向右平移
个单位长度,再向下平移1个单位,得到函数
的图像.
(1)当时,求
的值域
(2)令,若对任意
都有
恒成立,求
的最大值
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【题目】如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为
,其左焦点到点P(2,1)的距离为
.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
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【题目】甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销天。两品牌提供的返利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出
件以内(含
件)的产品,每件产品返利
元,超出
件的部分每件返利
元;乙品牌每天固定返利
元,且每卖出一件产品再返利
元。经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:
(Ⅰ)现从乙品牌试销的天中随机抽取
天,求这
天的销售量中至少有一天低于
的概率.
(Ⅱ)若将频率视作概率,回答以下问题:
①记甲品牌的日返利额为(单位:元),求
的分布列和数学期望;
②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为商场作出选择,并说明理由.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
,且对任意的正整数
,都有
,其中常数
.设
﹒
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若且
,设
,证明数列
是等比数列;
(3)若对任意的正整数,都有
,求实数
的取值范围.
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