【题目】设函数,
.
(Ⅰ)若,证明函数
有唯一的极小值点;
(Ⅱ)设且
,记函数
的最大值为M,求使得
的a的最小值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)正整数a的最小值为3
【解析】
(Ⅰ)设,得出
的单调性,再依据零点存在性定理得出结论.
(Ⅱ)由题得,设
,则
,
则在
上为单调递减函数,从而得出
在
上为单调递减函数,且
,则
,所以,存在唯一的
,使得
,进而可得
在
处取得最大值
,
,所以
,从而得出答案.
(Ⅰ)∵,
设,则
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
且,
当时,
,
当时,取
,则
,
依据零点存在性定理,知存在唯一的,使得
,
且时,
,
递减,
且时,
,
递增,
故为函数
唯一的极小值点.
(Ⅱ)因为,
所以,
设,则
,
则在
上为单调递减函数,
取,则
,
取,则
,
所以,存在唯一的,使得
,即
,
且当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
故函数在
处取得最大值
,
此时,由得
,
,
由两边取对数,得
则,
由已知,,
故正整数a的最小值为3.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】苹果可按果径(最大横切面直径,单位:
.)分为五个等级:
时为1级,
时为2级,
时为3级,
时为4级,
时为5级.不同果径的苹果,按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10000个,果径
均在
内,从中随机抽取2000个苹果进行统计分析,得到如图1所示的频率分布直方图,图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图.
(1)假设服从正态分布
,其中
的近似值为果径的样本平均数
(同一组数据用该区间的中点值代替),
,试估计采摘的10000个苹果中,果径
位于区间
的苹果个数;
(2)已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果,且售价为特级果12元
,一级果10元
,二级果9元
.设该果园售出这
苹果的收入为
,以频率估计概率,求
的数学期望.
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案:电脑模拟驾驶,以某速度匀速行驶,记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离).无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.
表1
停车距离 | |||||
频数 | 26 | 8 | 2 |
表2
平均每毫升血液酒精含量 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
平均停车距离 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表1数据的中位数估计值为26,回答以下问题.
(Ⅰ)求的值,并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
(Ⅱ)根据最小二乘法,由表2的数据计算关于
的回归方程
;
(Ⅲ)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于(Ⅰ)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
(附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】阿波罗尼斯(约公元前年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点
、
间的距离为
,动点
满足
,则
的最小值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,准线
的方程为
.若三角形
的三个顶点都在抛物线
上,且
,则称该三角形为“向心三角形”.
(1)是否存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为和
?说明理由;
(2)设“向心三角形”的一边
所在直线的斜率为
,求直线
的方程;
(3)已知三角形是“向心三角形”,证明:点
的横坐标小于
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面
,
平行的是( )
A.,
是平面
内两条直线,且
,
B.,
是两条异面直线,
,
,且
,
C.面内不共线的三点到
的距离相等
D.面,
都垂直于平面
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【题目】已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为
.
(1)求的值;
(2)将函数的图象沿
轴向左平移
个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,求
的值.
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