【题目】如图,在直三棱柱中,
,点
分别为棱
的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角为300?如果存在,求出线段
的长;如果不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)1.
【解析】
(1) 方法一:取中点为
,连结
,,要证
平面
,即证:
,;方法二:以
为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
,求出平面
的法向量为
,又因为
,
即可得证.(2)方法一:要证平面
平面
,转证
平面
即证
;方法二:分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系,利用坐标法即可得到结果.
方法一:(1)取中点为
,连结
,
由且
,
又点为
中点,所以
,
又因为分别为
,
中点,所以
,
所以,
所以共面于平面
,
因为,
分别为
中点, 所以
,
平面
,
平面
,
所以平面
.
方法二:在直三棱柱中,
平面
又因为,
以为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
,
由题意得,
.
所以,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,得
,
于是 ,
又因为,
所以 ,
又因为平面
,
所以平面
.
(2)方法一:在直棱柱中,
平面
,
因为
,所以
,
又因为,
且,
所以平面
,
平面
,所以
,
又,四边形
为正方形,
所以 ,
又,所以
,
又,
且,
所以平面
,
又平面
,
所以平面平面
.
方法二:设平面的法向量为
,
,
,即
,
令,得
,
于是 ,
,
即,所以平面
平面
.
(3)设直线与平面
所成角为
,则
,
设,则
,
,
所以 ,
解得或
(舍),
所以点存在,即
的中点,
.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,准线
的方程为
.若三角形
的三个顶点都在抛物线
上,且
,则称该三角形为“向心三角形”.
(1)是否存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为和
?说明理由;
(2)设“向心三角形”的一边
所在直线的斜率为
,求直线
的方程;
(3)已知三角形是“向心三角形”,证明:点
的横坐标小于
.
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【题目】
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点,l和C交于A,B两点,求
.
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【题目】已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为
.
(1)求的值;
(2)将函数的图象沿
轴向左平移
个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,求
的值.
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【题目】销售甲种商品所得利润是万元,它与投入资金
万元的关系有经验公式
;销售乙种商品所得利润是
万元,它与投入资金
万元的关系有经验公式
,其中
,
为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售;若全部投入甲种商品,所得利润为
万元;若全部投入乙种商品,所得利润为1万元,若将3万元资金中的
万元投入甲种商品的销售,余下的投入乙种商品的销售,则所得利润总和为
万元.
(1)求函数的解析式;
(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品,才能使所得利润总和最大,并求最大值.
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【题目】已知圆经过
两点,且圆心
在直线
上.
(1)求圆的方程;
(2)已知过点的直线
与圆
相交截得的弦长为
,求直线
的方程;
(3)已知点,在平面内是否存在异于点
的定点
,对于圆
上的任意动点
,都有
为定值?若存在求出定点
的坐标,若不存在说明理由.
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【题目】张三同学从每年生日时对自己的身高测量后记录如表:
(附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,
)
(1)求身高关于年龄
的线性回归方程;(可能会用到的数据:
(cm))
(2)利用(1)中的线性回归方程,分析张三同学岁起到
岁身高的变化情况,如
岁之前都符合这一变化,请预测张三同学
岁时的身高。
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