Question

【题目】如图，在三棱柱中，是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接AC1交A1C于点O，连接OD，由中位线定理可得OD∥BC1，故而BC1∥平面A1CD；（2）根据棱锥和棱柱的体积公式即可得出结论．

（1）证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，

∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，

∴四边形AA1C1C是平行四边形，

∴O是AC1的中点，又D是AB的中点，

∴OD∥BC1，又OD平面A1CD，BC1平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD．

（2）设三棱柱A1B1C1﹣ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积V＝S△ABCh，

又V＝VV，VVS△ABCh，

∴V，

∵CC1∥BB1，CC1平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，

∴CC1∥平面ABB1A1，

∴VV，

∵SS，∴VV，

∴三棱锥C﹣AA1E的体积与三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积之比为．