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    设f(x)=x2-x+a(a∈R),

    (1)若f(x)=0的两个实根α、β满足|α|+|β|=2,求α的值;

    (2)b∈R,若|x-b|＜1,求证:|f(x)-f(b)|＜2(|b|+1).

    (1)解析:∵Δ=1-4a≥0,∴a≤.

    又∵α+β=1,|α|+|β|=2,

    ∴α、β异号,|α-β|=|α|+|β|=2,即=2.

    ∴=2.∴a=-.

    (2)证明:|f(x)-f(b)|=|x2-x-b2+b|=|x-b|·|x+b-1|＜|x+b-1|=|(x-b)+(2b-1)|＜1+|2b-1|≤2+2|b|=2(|b|+1).

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+
    b+2x+1
    (x＞1)    ，其中b为实数．
    （1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；
    ②求函数f（x）的单调区间．
    （2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f(x)=
    x2  x∈[0，1]
    1
    x
      x∈(1，e]
    （e为自然对数的底数），则
    ∫
     e
     0
    f(x)dx    的值
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•韶关一模）设f（x）在区间I上有定义，若对?x1，x2∈I，都有f(
    x1+x2
    2
    )≥
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，则称f（x）是区间I的向上凸函数；若对?x1，x2∈I，都有f(
    x1+x2
    2
    )≤
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，则称f（x）是区间I的向下凸函数，有下列四个判断：
    ①若f（x）是区间I的向上凸函数，则-f（x）在区间I的向下凸函数；
    ②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；
    ③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
    1
    f(x)
    是区间I的向上凸函数；
    ④若f（x）是区间I的向上凸函数，?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
    x1+x2+x3+x4
    4
    ）≥
    f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
    4

    其中正确的结论个数是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•潍坊一模）设函数f(x)=
    1
    3
    mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx    ，其中a≠0．
    （ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
    （Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
    （Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
    f(x)，x≤1
    g(x)，x＞1
    ，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞
    f(x)
    x
    ，
    （1）判断函数F(x)=
    f(x)
    x
    在（0，+∞）上的单调性；
    （2）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论；
    （3）设x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x1）+f（x2）+…+f（xn）与f（x1+x2+…+xn）的大小，并证明你的结论．

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