Question

【题目】某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形的长为130米，宽为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为0，圆O与，，分别相切于点A，D，CT为的中点.现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N在线段上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段与圆O相切于点M，再沿着圆孤轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道滑行到达终点R记为，轨道总长度为l米.

（1）试将l表示为的函数，并写出的取值范围；

（2）求l最小时的值.

Answer 1

【答案】（1），，（2）

【解析】

（1）作，垂足为点，作，垂足为点，可得，，进而得出以及的取值范围；

（2）对进行求导，求出函数的单调性，即可求得最小时的值.

（1）作，垂足为点，作，垂足为点，如图所示：

∴，

∴，

（2）

令，可得；令，可得.

令，，则当时，为单调递减；当时，为单调递增.

∴当时，函数取得最小值，即最小.