Question

2．若数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-2，记b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c₁=1，c_n+1=c_n+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：c_n＜3．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式与等比数列的通项公式可得a_n，再利用对数的运算性质可得b_n．
（2）c₁=1，c_n+1=c_n+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，可得c_n+1-c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$=d_n，利用“错位相减法”可得数列{d_n}的前n项和，即可得出．

解答 （1）解：S_n=2a_n-2，n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为2，
∴a_n=2ⁿ．
∴b_n=log₂a_n=n．
（2）证明：c₁=1，c_n+1=c_n+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$=d_n，
设数列{d_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴c_n+1=（c_n+1-c_n）+（c_n-c_n-1）+…+（c₂-c₁）+c₁=3-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜3．
∴c_n＜3．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．