Question

7．数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项的和S_n满足a_n=$\frac{{S}_{n}^{2}}{{S}_{n}-1}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+2}}$，整理后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由a_n=$\frac{{S}_{n}^{2}}{{S}_{n}-1}$，得${{S}_{n}}^{2}=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）（{S}_{n}-1）$，
即S_n-1-S_n=S_nS_n-1，∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=1$（n≥2），
则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，则${S}_{n}=\frac{1}{n}$．
∴当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}=-\frac{1}{n（n-1）}$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）${b}_{n}=lo{g}_{2}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+2}}=lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}=lo{g}_{2}（n+2）-lo{g}_{2}n$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂3-log₂1+log₂4-log₂2+log₂5-log₂3+…+log₂（n+2）-log₂n
=log₂（n+2）+log₂（n+1）-log₂2-log₂1=$lo{g}_{2}（{n}^{2}+3n+2）-1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了对数的运算性质，是中档题．