【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当C点为半圆的中点时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由BC⊥AC,BC⊥CD得BC⊥平面ACD,证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC,故而DE平面ACD,从而得证面面垂直;
(2)建立空间坐标系,求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小.
(1)证明:∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC,
∵DC⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴DC⊥BC,又DC∩AC=C,
∴BC⊥平面ACD,
∵DC∥EB,DC=EB,
∴四边形DCBE是平行四边形,∴DE∥BC,
∴DE⊥平面ACD,
又DE平面ADE,
∴平面ACD⊥平面ADE.
(2)当C点为半圆的中点时,AC=BC=2,
以C为原点,以CA,CB,CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示:
则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2
,0,0),B(0,2
,0),
∴(﹣2
,2
,0),
(0,0,1),
(0,2
,0),
(2
,0,﹣1),
设平面DAE的法向量为(x1,y1,z1),平面ABE的法向量为
(x2,y2,z2),
则,
,即
,
,
令x1=1得(1,0,2
),令x2=1得
(1,1,0).
∴cos.
∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角,
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为.
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【题目】某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试,从中随机抽取100名学生的测试成绩,制作了以下的测试成绩(满分是184分)的频率分布直方图.
市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工,划定的招聘录取分数线为172分,且补助已经被录取的学生每个人元的交通和餐补费.
(1)已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分,求技能测试成绩的中位数,并对甲、乙的成绩作出客观的评价;
(2)令表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和,把
用
的函数来表示,并根据频率分布直方图估计
的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为
(其中
为参数).现以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)过点,且与直线
平行的直线
交
于
两点,求
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为
,
为参数
,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
求曲线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
若射线l:
与曲线
,
的交点分别为A,
B异于原点
,求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
的极坐标方程为
.
(1)设是曲线
上的一个动点,若点
到直线
的距离的最大值为
,求
的值;
(2)若曲线上任意一点
都满足
,求
的取值范围.
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【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国,下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
题号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 0.100 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 20 | ② | |
第4组 | 20 | 0.200 | |
第5组 | 10 | 0.100 | |
第6组 | 100 | 1.00 |
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据,再完成如下的频率分布直方图;
(2)组委会决定在5名(其中第3组2名,第4组2名,第5组1名)选手中随机抽取2名选接受考官进行面试,求第4组至少有1名选手被考官
面试的概率.
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【题目】在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(
为参数).
(1)设直线l与曲线C交于M,N两点,求|MN|;
(2)若点P(x,y)为曲线C上任意一点,求的取值范围.
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