Question

已知抛物线C：x²=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且抛物线上一点到点F的距离是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且，求k的值．
（Ⅲ）过A，B两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：因为点在抛物线C：x²=ay（a＞0）上，所以am=8．
因为点到抛物线的焦点F的距离是3，所以点到抛物线的准线的距离是3，
所以．
所以．
所以a=4，或a=8．…..（3分）
因为m＞1，所以a=4…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x²=4y．
因为直线l经过点T（0，1），，所以直线l的斜率一定存在，
设直线l的斜率是k，所以直线l的方程是y=kx+1，即kx-y+1=0．
联立方程组消去y，得x²-4kx-4=0．…..（5分）
所以．
因为，且k＞0，所以．…..（7分）
所以，所以．
因为k＞0，所以
所以k的值是．…..（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，方程组得x²-4kx-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
．…..（9分）
由x²=4y，所以，所以．
所以切线QA的方程是，切线QB的方程是．…..（11分）
所以点Q的坐标是（，），即（2k，-1），所以．
因为
所以．…..（14分）
分析：（Ⅰ）利用点在抛物线C：x²=ay（a＞0）上，点到抛物线的焦点F的距离是3，根据定义，建立方程，从而可求a的值；
（Ⅱ）设直线l的方程与抛物线方程联立，利用，建立方程，结合k＞0，可求k的值；
（Ⅲ）设直线l的方程与抛物线方程联立，确定的坐标，确定切线QA、QB的方程，求出点Q的坐标，从而可得的坐标，利用数量积公式可得结论．
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．