Question

14．某教辅集团进年要研究出版多种一轮用书，其中有A，B两种已经投入使用，经一学年使用过后，教辅团队为了调查书的质量与社会反响，特地选择某校高三的4个班进行调查，从各班抽取的样本人数如表：

班级	一	二	三	四
人数	1	2	3	4

（1）从10人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；
（2）从中这10名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们每人选择一种图书，其中选择A，B两种图书学习的概率分别是$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，且他们选择A，B任一种图书都是相互独立的，设这三名学生中选择B的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）先求出从10人中随机抽取2人的基本事件总数，再求出这2人恰好来自同一班级包含的基本事件个数，由此能求出这2人恰好来自同一班级的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）从10人中随机抽取2人，基本事件个数n=${C}_{10}^{2}$=45，
这2人恰好来自同一班级包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}$，
∴这2人恰好来自同一班级的概率P=$\frac{m}{n}$=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{11}{45}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

Eξ=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}$+$3×\frac{8}{27}$=2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．