Question

3．某高校准备从几名优秀学生挑选选手参加“天才直到”节目的竞赛，他们对人文科学知识和自然科学知识至少擅长一项，已知擅长人文科学的共有5人，擅长自然科学知识的共有2人，现在从中随机选出2人推荐参加比赛培训，设ξ为选出的人中既擅长人文科学也擅长自然科学的人数，已知P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$．
（1）求优秀学生的人数；
（2）写出ξ的概率分布列并计算ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （1）设既擅长人文科学也擅长自然科学的人数为x，则优秀学生人数为7-x，对人文科学知识和自然科学知识中只擅长一项的人数为7-2x，由已知得P（ξ=0）=$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，由此能求出优秀学生人数．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与Eξ．

解答 解：（1）设既擅长人文科学也擅长自然科学的人数为x，
则优秀学生人数为7-x，对人文科学知识和自然科学知识中只擅长一项的人数为7-2x，
∵ξ为选出的人中既擅长人文科学也擅长自然科学的人数，P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
整理，得37x²-221x+294=0，
解得x=2或x=$\frac{147}{37}$，
∴优秀学生人数为7-2=5人．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

Eξ=$0×\frac{3}{10}+1×\frac{6}{10}+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．