Question

11．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=$\sqrt{3}$，若球O的体积为$\frac{20}{3}$$\sqrt{5}$π，则这个直三棱柱的体积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A₁B₁C₁的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O₁A=1，由球O的体积算出OA=$\sqrt{5}$，然后在Rt△O₁OA中，用勾股定理算出O₁O=2，得三棱柱的高O₁O₂=4，最后算出底面积S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得此直三棱柱的体积．

解答 解：设△ABC和△A₁B₁C₁的外心分别为O₁、O₂，连接O₁O₂，
可得外接球的球心O为O₁O₂的中点，连接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C
△ABC中，cosA=$\frac{{AB}^{2}+{AC}^{2}-{BC}^{2}}{2AB•AC}$=-$\frac{1}{2}$
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$
根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O₁A=$\frac{BC}{2sinA}$=1
∵球O的体积为V=$\frac{4{πR}^{3}}{3}$=$\frac{20}{3}$π，∴OA=R=$\sqrt{5}$
Rt△O₁OA中，O₁O=$\sqrt{{OA}^{2}-{O}_{1}{A}^{2}}$=2，可得O₁O₂=2O₁O=4
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为S_△ABC×O₁O₂=$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．