Question

13．已知f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$（b＜0）的值域为[1，3]．
（1）求b，c的值；
（2）判断f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）分离常数法化简f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$；运用判别式大于等于0，从而求b，c．
（2）利用（1）化简函数的解析式，通过函数的导数求解函数的单调性．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$；
∴-1≤$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$≤1；
∴y=$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$（x∈R）即为
yx²-bx+y-c+2=0有实根．
即有判别式△≥0，即有b2-4y（y-c+2）≥0，
即有4y²-4（c-2）y-b²≤0，
由-1，1是方程4y²-4（c-2）y-b²=0的两根．
即有c=2，b=-2．
综上所述，b=-2，c=2．
（2）f（x）在x∈[-1，1]上的单调递减．
∵设u=f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+1}$=2-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$．
∴f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵x∈[-1，1]
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上的单调递减．

点评 本题考查了函数的值域的应用，函数的导数的应用，考查计算能力．