Question

8．2015年3月22日，长沙某协会在保护湘江，爱我母亲河“活动中共计放生了青鱼、草鱼、鲫鱼数百万尾．
（1）若这些鱼中三种鱼所占比例一样，现从中抽取5尾检查鱼的健康状况，求其中青鱼的尾数x的分布列及其数学期望；
（2）在放生前有人发现数百尾鱼不合格，若从不合格的鱼中任意抽取1尾，得到青鱼的概率是$\frac{3}{8}$，任意依次抽取2尾鱼，没有鲫鱼的概率为$\frac{1}{4}$，求证：任意依次抽取2尾鱼，至少一尾青鱼的概率不大于$\frac{11}{16}$，并指出不合格的鱼中哪种鱼最多．

Answer 1

分析 （1）由意得X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和EX．
（2）由已知得不合格的鱼青鱼的概率是$\frac{3}{8}$，由此能证明任意依次抽取2尾鱼，至少一尾青鱼的概率不大于$\frac{11}{16}$．设不合格的鱼中鲫鱼的概率是x，由题意（1-x）（1-x）=$\frac{1}{4}$，从而求出不合格的鱼中鲫鱼最多．

解答 （1）解：由意得X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{40}{243}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}（\frac{2}{3}）$=$\frac{10}{243}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{1}{243}$．
X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

EX=5×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$．
（2）证明：∵从不合格的鱼中任意抽取1尾，得到青鱼的概率是$\frac{3}{8}$，
∴不合格的鱼青鱼的概率是$\frac{3}{8}$，
∴任意依次抽取2尾鱼，至少一尾青鱼的概率：
p=1-$（1-\frac{3}{8}）（1-\frac{3}{8}）$=1-$\frac{25}{64}$=$\frac{39}{64}$$＜\frac{11}{16}$．
∴任意依次抽取2尾鱼，至少一尾青鱼的概率不大于$\frac{11}{16}$．
设不合格的鱼中鲫鱼的概率是x，
∵任意依次抽取2尾鱼，没有鲫鱼的概率为$\frac{1}{4}$，
∴（1-x）（1-x）=$\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴不合格的鱼中鲫鱼的概率是$\frac{1}{2}$，草鱼的概率是$1-\frac{3}{8}-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
∴不合格的鱼中鲫鱼最多．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．