Question

已知数列{a_n}，前n项和为S_n，若S_n+a_n=n²+3n-1，n∈N^*．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在常数p，q，使得数列{a_n+pn+q}为等比数列，若存在，求出数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）结合已知S_n+a_n=n²+3n-1可把n=1，2，3，4，代入到递推公式中进行求解即可
（2）由已知S_n+a_n=n²+3n-1可得，S_n+1+a_n+1=（n+1）²+3（n+1）-1，考虑两式相减可得an+1=

1

2

an+n+2．结合已知数列为等比数列可构造an+1+p(n+1)+q=

1

2

(an+pn+q)，利用待定系数法可求p，q，从而可求数列的通项公式

解答：解：（1）∵S_n+a_n=n²+3n-1，∴s₁+a₁=3，∴a1=

3

2

．
n=2时，（a₁+a₂）+a₂=2²+3×2-1，∴2a2+

3

2

=9，∴a2=

15

4

．
n=3时，（a₁+a₂+a₃）+a₃=3²+3×3-1，∴2a3+

21

4

=17，∴a3=

47

8

．
n=4时，（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₄=4²+3×4-1，∴2a4+

89

8

=27，∴a4=

127

16

．
（2）∵S_n+a_n=n²+3n-1，①
∴S_n+1+a_n+1=（n+1）²+3（n+1）-1，②
②-①得S_n+1-S_n+a_n+1-a_n=2n+4，
∴2a_n+1-a_n=2n+4，∴an+1=

1

2

an+n+2．
设an+1+p(n+1)+q=

1

2

(an+pn+q)．
∴an+1=

1

2

an-

1

2

pn-

1

2

q-p．
令-

1

2

pn-

q

2

-p=n+2．∴

- 1 2 p=1 -p- q 2 =2.

∴

p=-2 q=0.

∴存在常数p=-2，q=0．使{a_n-2n}构成等比数列，首项-

1

2

，公比为

1

2

，
∴an-2n=-(

1

2

)n，∴an=2n-(

1

2

)n．

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项，及由数列的递推公式求解数列的通项公式，而等比数列的定义是解决等比数列最基本的方法．