Question

（2013•蓟县二模）设f（x）=2^x-2^-x．若当θ∈[-

π

2

，0)时，f(m-

1

cosθ-1

)+f(m2-3)＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（-∞，-2）

B．（-∞，-2]∪[1，+∞）

C．（-2，1）

D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：先判断f（x）的奇偶性、单调性，利用函数的性质把不等式中的符号“f”去掉，转化为具体不等式，进而把恒成立问题转化为函数最值解决即可．

解答：解：因为f（x）的定义域为R，且f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
又易知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
所以f(m-

1

cosθ-1

)+f(m2-3)＞0可化为f（m-

1

cosθ-1

）＞-f（m²-3）=f（3-m²），
也即m-

1

cosθ-1

＞3-m²，即m2+m-3＞

1

cosθ-1

在当θ∈[-

π

2

，0)时恒成立，
当θ∈[-

π

2

，0)时，cosθ∈[0，1），

1

cosθ-1

≤-1，
所以m²+m-3＞-1，解得m＜-2或m＞1，即实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．