Question

15．已知直角△ABC的一边长a=2，另两边长b，c是关于x的方程x²-4x+m=0的两个根，求m的值和△ABC的面积．

Answer 1

分析 由已知及一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系可得b+c=4，bc=m，分类讨论，求出bc的值，分别利用直角三角形的面积公式即可计算得解．

解答 解：∵直角△ABC的一边长a=2，另两边长b，c是关于x的方程x²-4x+m=0的两个根，
∴b+c=4，bc=m，
①若a为三角形的斜边，则：b²+c²=4，联立b+c=4，解得：bc=3，
可得：m=bc=3，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{3}{2}$．
②若a为三角形的一直角边，不妨设b为斜边，则：b²=4+c²，联立b+c=4，解得：c=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{5}{2}$，
可得：m=bc=$\frac{15}{4}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解的定义，三角形三边关系和直角三角形的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．