Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在区间的最大值；

（2）若函数有两个极值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，的最大值为；当时，的最大值为；（2）证明见解析；

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，由函数单调性即可容易求得最值；

（2）根据极值点的定义，求得之间的关系以及参数的范围，构造函数，将问题转化为求该函数的最值问题，再进行适当放缩即可证明.

（1）由已知得的定义域为，

，

当时，，在上单调递增，的最大值为.

当时，在上单调递增，在单调递减，

的最大值为.

综上，当时，的最大值为，

当时，的最大值为.

（2），则的定义域为，

.

若有两个极值点，则方程的判别式

且，因而，

又，∴，即，

设，其中，

由 得，由于，

∴在上单调递增，在上单调递减，

即的最大值为，

从而成立.