Question

【题目】设函数，

（1）用定义证明：函数是R上的增函数；

（2）化简，并求值：；

（3）若关于x的方程在上有解，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）； （3）.

【解析】

（1）直接利用用定义，通过f（x1）﹣f（x2）化简表达式，比较出大小即可证明函数f（x）在R上的单调性；

（2）化简f（t）+f（1﹣t），求出它的值是1，再利用此结论求的值；

（3）变量分离可得，利用换元法结合对勾函数的性质求值域即可

（1）证明：设任意x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，

∵x1＜x2，

∴4x1＜4x2，∴4x1﹣4x2＜0，

又2+4x1＞0，2+4x2＞0．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上是增函数；

（2）对任意t，

∴对于任意t，

，

，

（3）

令，则且在单调递减，

∴