Question

【题目】已知函数f（x）=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为 ．
（1）求f（ ）的值；
（2）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（ ，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得：f（x）=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx

=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+ sin2ωx

= sin2ωx﹣cos2ωx

=2sin（2ωx﹣ ）

∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为 ．

∴周期T= ，由 = ，可得ω=2．

∴f（x）=2sin（4x﹣ ），

∴f（ ）=2sin（4× ﹣ ）=2sin =1

（2）解：由（1）可知f（x）=2sin（4x﹣ ），则g（x）=2sin（4x+4m﹣ ），

∵（ ，0）为y=g（x）图象的一个对称中心，

∴2sin（4× +4m﹣ ）=0，解得：4× +4m﹣ =kπ（k∈Z），可得：m= ﹣ ，

当k=1时，m取得最小值

此时g（x）=2sin（4x+ ），

由2k ≤4x+ ≤2k ，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间为：[ ﹣ ， + ]，k∈Z

【解析】（1）由三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）=2sin（2ωx﹣ ），由题意可求周期T= ，由周期公式可求ω，从而可得函数解析式，进而得解．（2）由（1）可求g（x）=2sin（4x+4m﹣ ），由题意可得4× +4m﹣ =kπ（k∈Z），可得：m= ﹣ ，可求m的最小值，由2k ≤4x+ ≤2k ，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间．
【考点精析】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识点，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能正确解答此题．