Question

19．给出下列命题：
①“若a≥0，则x²+x-a=0有实根”的逆否命题为真命题：
②命题“?x∈[1，2]，x²-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a≥4；
③命题“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是真命题；
④命题p：函数y=e^x+e^-x为偶函数；命题q：函数y=e^x-e^-x在R上为增函数，则p∧（?q）为真命题．期中正确命题的序号是①③．

Answer 1

分析 ①根据逆否命题的等价性进行判断，
②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据含有量词的命题的否定进行判断，
④根据复合命题真假关系进行判断．

解答 解：①“若a≥0，则判别式△=1+4a≥0，则x²+x-a=0有实根”，即原命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题：故①正确，
②命题“?x∈[1，2]，x²-a≤0”为真命题，则a≥x²，
即a≥4，
则a≥4是命题为真命题的充要条件，故②错误；
③命题“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是“?x∈R，使得x²-2x+1≥0”，
∵x²-2x+1=（x-1）²≥0恒成立，则命题的否定是真命题；故③正确，
④命题p：函数y=e^x+e^-x为偶函数正确；
命题q：函数y=e^x-e^-x=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$在上为增函数，则p∧（?q）为假命题．故④错误，
故正确命题的序号是 ①③，
故答案为：①③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大．