Question

8．已知点P位椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$上任意一点，则P到直线l：2x-y=12的距离的最小值为（　　）

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{7}{5}\sqrt{5}$
• C． $\frac{17}{5}$
• D． $\frac{17}{5}\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设出与直线l：2x-y=12平行的直线为2x-y+m=0，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0求得m，得到与椭圆相切且与直线l：2x-y=12平行的直线方程，再由两平行线间的距离公式求解．

解答 解：设与直线l：2x-y=12平行的直线为2x-y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{2x-y+m=0}\end{array}\right.$，得25x²+16mx+4m²-36=0．
由△=（16m）²-100（4m²-36）=0，得m=±5．
∴当m=-5时，直线2x-y-5=0与椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的切点到直线l：2x-y=12的距离最小．
最小值为$\frac{|-12+5|}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．