Question

已知x，y∈R，x＞0，若（x+yi）²=y+xi，则（x+yi）²⁰⁰⁰的值是

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：x，y∈R，x＞0，y+xi=（x+yi）²=x²-y²+2xyi，利用复数相等解得y=

1

2

，x=

3

2

．可得x+yi=

3

2

+

1

2

i=cos

π

6

+isin

π

6

，利用（x+yi）²=cos

π

3

+isin

π

3

=

1

2

+

3

2

i，（x+yi）⁶=cosπ+isinπ=-1．及其棣模佛定理即可得出．

解答： 解：∵x，y∈R，x＞0，y+xi=（x+yi）²=x²-y²+2xyi，
∴y=x²-y²，x=2xy，
解得y=

1

2

，x=

3

2

．
∴x+yi=

3

2

+

1

2

i=cos

π

6

+isin

π

6

，
∴（x+yi）²=cos

π

3

+isin

π

3

=

1

2

+

3

2

i，（x+yi）⁶=cosπ+isinπ=-1．
∴（x+yi）²⁰⁰⁰=（x+yi）^6×333•（x+yi）²=（-1）³³³(

1

2

+

3

2

i)=-

1

2

-

3

2

i．
故答案为：-

1

2

-

3

2

i．

点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、复数的三角形式、棣模佛定理，考查了计算能力，属于基础题．