Question

已知函数f（x）=

lnx

a

-x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=

1

ax

-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=

1

a

-1，
依题意

1

a

-1=0，解得a=1，
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）若a＜0，因为此时对一切x∈（0，1），都有

lnx

a

＞0，x-1＜0，所以

lnx

a

＞x-1，与题意矛盾，
又a≠0，故a＞0，由f′（x）=

1

ax

-1，令f′（x）=0，得x=

1

a

．
当0＜x＜

1

a

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞

1

a

时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以f（x）在x=

1

a

处取得最大值

1

a

ln

1

a

-

1

a

，
故对?x∈R⁺，f（x）≤-1恒成立，当且仅当对?a∈R⁺，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1恒成立．
令

1

a

=t，g（t）=tlnt-t，t＞0．则g′（t）=lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；当t＞1时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增；
所以g（t）在t=1处取得最小值-1，
因此，当且仅当

1

a

=1，即a=1时，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1成立．
故a的取值集合为{1}．