Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x-2；
（1）求证：函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁≥0，x₂＞0），若直线PQ∥x轴，求P，Q两点间的最短距离．

Answer 1

（1）证明：x≥0时，f'（x）=e^x+cosx≥1+cosx≥0，
所以函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；---------------------------（6分）
（2）因为f（x₁）=g（x₂），所以ex1+sinx1=x2-2---------------------（8分）
所以P，Q两点间的距离等于|x₂-x₁|=|ex1+sinx1-x1+2|，------（9分）
设h（x）=e^x+sinx-x+2（x≥0），则h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），
记l（x）=h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），则l'（x）=e^x-sinx≥1-sinx≥0，
所以h'（x）≥h'（0）=1＞0，------------------------------------（12分）
所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3------------（14分）
所以|x₂-x₁|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．---------------（15分）