Question

在实数集R上定义运算：
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在R上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若，在的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（I）（II）.
（III）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.

解析试题分析：（I）由新定义计算即得，关键是理解“新运算”的意义；
（II）根据时，在减函数，得到对于恒成立，
即恒成立，得到.
属于常规题目，难度不大，主要是注意应用“转化与化归思想” .
（III）假定是曲线上的任意两点，如果存在互相垂直的切线，则有
.因此，只需研究是否成立即可.
试题解析：（I）由题意，              2分
            4分
（II）∵，      6分
当时，在减函数，
∴对于恒成立，即
恒成立，             8分
∵，
∴恒成立，
∴，
∴.                    9分
（III）当时，，
设是曲线上的任意两点，
∵，              11分
∴，
∴不成立.            12分
∴的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.    13分
考点：新定义，导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性