Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，给出以下论断：
①tanA-cotB=1         ②0＜sinA+sinB≤

2

③sin²A+cos²B=1    ④cos²A+cos²B=sin²C
其中正确的是：

②④

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos

A+B

2

=

2

2

进而求得A+B=90°，进而求得
tanA-cotB=tanA-tanA=0，可得①不正确；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，得②正确；
③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等，得④正确．

解答：解：∵tan

A+B

2

=sinC，∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

，
整理求得cos

A+B

2

=

2

2

，∴A+B=90°．
∴tanA-cotB=tanA-tanA=0，不等于1，故①不正确．
由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
 45°＜A+45°＜135°，故有

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴0＜sinA+sinB≤

2

，所以②正确．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A，不一定等于1，故③不正确．
∵cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C，所以④正确．
故答案为②④．

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力，属于中档题．