Question

（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；
（Ⅱ）（解法一），由b²=ac，cosB=

1

2

，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（解法二），由b²=ac，cosB=

1

2

，根据余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．

解答：解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴cosB=

1

2

；…6分
（Ⅱ）（解法一）
由已知b²=ac，根据正弦定理得sin²B=sinAsinC，
又cosB=

1

2

，
∴sinAsinC=1-cos²B=

3

4

…12分
（解法二）
由已知b²=ac及cosB=

1

2

，
根据余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=

3

4

…12分

点评：本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．