Question

已知斜三棱柱ABCA₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，ÐABC=90°，BC=2，AC=，且AA₁^A₁C，AA₁=A₁C．

（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；

（2）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；

（3）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：作A1D^AC，垂足为D，由面A1ACC1^面ABC，得A1D^面ABC，∴ ÐA1AD为A1A与面ABC所成的角．∵ ÐAA1^A1C，AA1=A1C，∴ ÐA1AD=45°为所求的二面角．（2）解：作DE^AB，垂足为E，连A1E，则由A1D^面ABC，得A1E^AB  ∴ ÐA1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB^BC，得ED∥BC，又D是AC的中点，BC=2，  ∴ DE=1， 故ÐA1ED=60°为所求． （3）解法一：由点C作面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到面A1ABB1的距离．连结HB，由于AB^BC，得AB^HB，又A1E^AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴ ÐHBC=ÐA1ED=60°  ∴ 为所求． 解法二：连结A1B，根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h．由   得．即∴ 为所求距离．