Question

已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）且0＜α＜π
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

与

OC

的夹角；
（2）若

AC

⊥

BC

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的点的坐标写出要用的向量的坐标，因为向量的模长是已知数值，代入坐标进行运算，得到关于角的关系式，结合同角的三角函数的关系，得到角α的值，从而得到向量夹角的值．
（2）根据所给的向量的坐标和向量垂直的条件，写出角的三角函数式之间的关系，通过三角变换得到要求的角的余弦值，本题主要解题思想是把两角之和和两角之积作为整体来处理．

解答：解：（1）∵|

OA

+

OC

|=

7

∴（2+cosα）²+sin²α=7
∴cosα=

1

2

，又α∈(0，π)
∴α=∠AOC=

π

3

又∵∠AOB=

π

2

∴

OB

与

OC

的夹角为

π

6

（2）∵

AC

=(cosα-2，sinα)

BC

=(cosα，sinα-2)
又∵

AC

⊥

BC

∴cosα+sinα=

1

2

∴2cosαsinα=-

3

4

又由(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=

7

4

及cosα-sinα＜0
得cosα-sinα=-

7

2

∴cosα=

1- 7

2

÷2=

1- 7

4

点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量垂直的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现，也可以以解答题形式出现．