Question

数列a_n中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=x+2的图象上．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）在数列a_n中，依次抽取第3，4，6，…，2^n-1+2，…项，组成新数列b_n，试求数列b_n的通项b_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得a_n+1-a_n=2，从而得到数列{a_n}为等差数列，代入等差数列的通项公式可得a_n．
（Ⅱ）由题意得bn=a(2n-1+2)=2(2n-1+2) -1=2n+ 3，观察通项公式可知采用分组求和，再分别代入等比数列及等差数列的求和公式．

解答：解：（Ⅰ）∵点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即数列a_n是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意知：bn=a2n-1+2=2(2n-1+2)-1=2n+3，（8分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n

i=1

(2i+3)=

n

i=1

2i+3n=

2-2n+1

1-2

+3n=2n+1+3n-2．（12分）

点评：本题（1）主要考查等差数列同项公式的求解，属于公式的基本运用．（2）解题的关键是得到bn=a2n-1+2，从而分别利用等差数列及等比数列的求和公式代入求值．