Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=1，点（

an

，a_n+1）（n∈N）在函数y=x²+1的图象上，数列{b_n}的n项和s_n=2-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=

-1

an+1log2bn+1

，求{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）点 (

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上得到a_n+1-a_n=1所以a_n是以1为首项，1为公差的等差数列，然后根据s_n=2-b_n，得出数列{bn}是公比为

1

2

的等比数列，即可求出{b_n}的通项公式．
（2）首先根据对数的运算性质求出

log

bn+1 2

=

log	( 1 2 )n 2

=-n，然后求出数列{c_n}的通项公式，最后进行求和．

解答：解：（1）∵点（

an

，a_n+1）（n∈N）在函数y=x²+1的图象上，∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，
∵a₁=1，
∴a_n=n，
∵数列{b_n}的n项和s_n=2-b_n，
∴s_n+1=2-b_n+1，
两式相减得

bn+1

bn

=

1

2

，
∴数列{bn}是公比为

1

2

的等比数列，
由s_n=2-b_n，得b₁=1，
∴b_n=(

1

2

)n-1，
（2）∵

log

bn+1 2

=

log	( 1 2 )n 2

=-n，
∴c_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n+1=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查数列求和和等差等比数列求通项公式的知识点，本题通过函数图象与点的关系，转化为横纵坐标间的关系，构建数列，来考查数列的通项公式的求法及通项与前n项和之间的关系．