Question

16．解下列关于x的不等式．
（1）（2x+1）（x-3）＞3（x²+2）；
（2）1+x＞$\frac{1}{1-x}$；
（3）（x-2）（ax-2）＞0；
（4）2x-a＜bx+3；
（5）x²-（a+1）x+a＞0；
（6）ax²-2≥2x-ax（a∈R）

Answer 1

分析 按照一元二次不等式的解法步骤进行解答即可，对于含有字母系数的一元二次不等式，应讨论字母系数的取值范围，从而得出不等式的解集．

解答 解：（1）不等式（2x+1）（x-3）＞3（x²+2）可化为
x²+5x+9＞0，
∵△=25-4×9=-11＜0，
∴该不等式的解集为R；
（2）不等式1+x＞$\frac{1}{1-x}$可化为
（1+x）-$\frac{1}{1-x}$＞0，
即$\frac{（1+x）（1-x）-1}{1-x}$＞0，
化简得$\frac{{x}^{2}}{1-x}$＜0，
即1-x＜0，
解得x＞1，
∴该不等式的解集为{x|x＞1}；
（3）a=0时，原不等式化为-2（x-2）＞0，
解得不等式的解集是{x|x＜2}；
a＞0时，原不等式化为（x-2）（x-$\frac{2}{a}$）＞0，
若0＜a＜1，则2＜$\frac{2}{a}$，
∴不等式的解集为{x|x＜2，或x＞$\frac{2}{a}$}；
a=1时，原不等式化为（x-2）²＞0，
∴不等式的解集为{x|x≠2}；
a＞1时，$\frac{2}{a}$＜2，
不等式的解集为{x|x＜$\frac{2}{a}$，或x＞2}；
a＜0时，原不等式化为（x-2）（x-$\frac{2}{a}$）＜0，
且$\frac{2}{a}$＜2，∴不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$＜x＜2}；
（4）原不等式化为（2-b）x＜a+3，
当b=2时，2-b=0，若a＞-3，则a+3＞0，
此时不等式的解集为R，
若a≤-3，则a+3≤0，
此时不等式的解集为∅；
当b＜2时，2-b＞0，
此时不等式的解集为{x|x＜$\frac{a+3}{2-b}$}；
当b＞2时，2-b＜0，
此时不等式的解集为{x|x＞$\frac{a+3}{2-b}$}；
（5）不等式x²-（a+1）x+a＞0可化为（x-1）（x-a）＞0，
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a，或x＜1}，
当a=1时，不等式为（x-1）²＞0，它的解集为{x|x≠1}，
当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞1，或x＜a}；
（6）不等式ax²-2≥2x-ax可化为（x+1）（ax-2）≥0；
a=0时，原不等式化为-2（x+1）≥0，
解得不等式的解集是{x|x≤-1}；
a＜0时，原不等式化为（x+1）（x-$\frac{2}{a}$）≤0，
若-2＜a＜0，则-1＞$\frac{2}{a}$，
∴不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$≤x＜-1}；
a=-2时，原不等式化为（x+1）²≤0，
∴不等式的解集为{x|x=-1}；
a＜-2时，-1＜$\frac{2}{a}$，
不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{2}{a}$}；
a＞0时，原不等式化为（x+1）（x-$\frac{2}{a}$）≥0，
且$\frac{2}{a}$＞-1，∴不等式的解集为{x|x≤-1，或x≥$\frac{2}{a}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．