Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx，a∈R是常数．
（1）若a=2，求这个函数的图象在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定切线的斜率，从而可求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（2）依题意，x＞0，f/(x)=x-

a

x

=

1

x

(x2-a)，下面对字母a进行分类讨论，求出函数的单调性与极值，再与端点函数值比较，即可得到函数f（x）在区间[1，e]上的最大值．

解答：解：（1）a=2时，f(x)=

1

2

x2-2lnx，f(1)=

1

2

x2-2lnx=

1

2

…（1分），
f/(x)=x-

2

x

…（2分），
f′（1）=-1…（3分），
所求切线方程为y-

1

2

=-(x-1)，即2x+2y-3=0…（4分）
（2）依题意，x＞0，f/(x)=x-

a

x

=

1

x

(x2-a)…（5分），
①a≤1时，因为x∈[1，e]，1≤x²≤e²，所以f′（x）≥0（等号当且仅当x=a=1时成立）…（6分），
所以f（x）在区间[1，e]单调递增，最小值为f(1)=

1

2

…（7分）
②a≥e²时，因为1≤x²≤e²，所以f′（x）≤0（等号当且仅当x=a=e²时成立）…（6分），
所以f（x）在区间[1，e]单调递减，最小值为f(e)=

1

2

e2-a…（9分）
③1＜a＜e²时，解f/(x)=

1

x

(x2-a)=0得x=±

a

（负值舍去）…（10分），

x	[1， a )	a	( a ，e]
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	最小值	↗

…（13分），（第2、3、4列每列1分）
f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(

a

)=

1

2

a2-

1

2

alna．
综上所述，a≤1时，f（x）的最小值为f(1)=

1

2

；
1＜a＜e²时，f（x）的最小值为f(

a

)=

1

2

a2-

1

2

alna；
a≥e²时，f（x）的最小值为f(e)=

1

2

e2-a…（14分）．

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，有一定的综合性．