Question

【题目】若定义在区间D上的函数y=f（x）满足：对x∈D，M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，则称函数y=f（x）在区间D上有界．则下列函数中有界的是： ．
①y=sinx；② ；③y=tanx；④ ；
⑤y=x3+ax2+bx+1（﹣4≤x≤4），其中a，b∈R．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：①∵y=|sinx|≤1，
∴函数y=|sinx|在区间R上有界．
②∵y=|x+ |≥2
∴函数y=|x+ |在区间{x|x≠0}上无界；
③∵y=|tanx|≥0
∴函数y=|tanx|在区间{x|x≠ +kπ，k∈Z}上无界；
④∵ ；
令t=ex ， t＞0
则原式y= =1﹣ ∈（﹣1，1）
即值域为（﹣1，1）
∴存在M=1，对x∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
∴④是有界的．
⑤∵y=x3+ax2+bx+1（﹣4≤x≤4），
∴y在区间[﹣4，4]上是连续的函数，故一定要最大值P和最小值Q，
设M=max{|P|，|Q|}
∴对x∈D，M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
故⑤是有界的．
故本题答案为：①④⑤．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．