【题目】已知函数与
(其中
)在
上的单调性正好相反,回答下列问题:
(1)对于,
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)令,两正实数
、
满足
,求证:
.
【答案】见解析
【解析】(1)因为,所以
(
),
①当时,
,
在
上为减函数;
②当时,
.
令,得
,此时
在
上为增函数;
令,得
,此时
在
上为减函数;
又因为,则
,
①当时,
,
在
上为增函数,由(1)知,可能与
单调性相同;
②当时,
,
令,得
,此时
在
上为增函数;
令,得
,此时
在
上为减函数.
于是若要与
在
上的单调性正好相反,
则必须,解得
.
∴,
. .............................(4分)
所以,函数在
上单调递增,
上单调递减;
函数在
上单调递减,
上单调递增.
∴在区间上:
对于函数有
,
又,
,
∴.
对于函数有
,
又,
,
,
∴,
∴,
..............................(6分)
当,即
时,不等式恒成立;
当,即
时,不等式恒成立需满足:
,
∴.
综上,所求的范围为
..............................(8分)
(2)易得,
由,得
,
∴,
∴,
∴............................(11分)
令,设
,则
,
可知在
上单调递增,在
上单调递减,
∴,
∴...........................(12分)
【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题的求解,导数在研究函数中的应用,意在考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数列{an}满足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,则{an}的前60项和为( )
A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列四个命题
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;
②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本,现采用系统抽样方法应先剔除8人,则每个个体被抽到的概率均为;
③从总体中抽取的样本数据共有m个a,n个b,p个c,则总体的平均数的估计值为
;
④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从001到800进行编号,已知从497--512这16个数中取得的学生编号是503,则初始在第1小组00l~016中随机抽到的学生编号是007.
其中真命题的个数是 _____个
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【题目】动点与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是
∶
,记点
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)对于定点,作过点
的直线
与曲线
交于不同的两点
,
,求△
的内切圆半径的最大值.
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【题目】正四面体ABCD的棱长为2,棱AD与平面α所成的角θ∈[ ,
],且顶点A在平面α内,B,C,D均在平面α外,则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是( )
A.[ ,1]
B.[ ,1]
C.[ ,
]
D.[ ,
]
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,并按,
,
,
,
,
分组,得到成绩的频率分布直方图(见下图).
(1)求的值,并计算所抽取样本的平均值
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“获奖与学生的文理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
合计 | 200 |
附表及公式:
,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】由于渤海海域水污染严重,为了获得第一手的水文资料,潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业,根据经验,潜水员下潜的平均速度为(米/单位时间),每单位时间消耗氧气
(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间消耗氧气
(升),返回水面的平均速度为
(米/单位时间),每单位时间消耗氧气
(升),记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为
(升).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)若,求当下潜速度
取什么值时,消耗氧气的总量最少.
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【题目】交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为,其范围为
,分为五个级别,
畅通;
基本畅通;
轻度拥堵;
中度拥堵;
严重拥堵.早高峰时段(
),从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.
(1)这50个路段为中度拥堵的有多少个?
(2)据此估计,早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?
(3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为36分钟,中度拥堵为42分钟,严重拥堵为60分钟,求此人所用时间的数学期望.
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