Question

【题目】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ (a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)求函数F(x)的单调区间；

(2)若函数y＝F(x)(x∈(0，3])图像上任意一点P(x0，y0)处的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求导，利用导数大于0求函数的增区间，导数小于0求函数的减区间（2）由题意知导数小于等于恒成立，分离参数即可求出a的最小值.

(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋ (x>0)，F′(x)＝－＝ (x>0)．

∵a>0，由F′(x)>0得x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上单调递增．

由F′(x)<0得x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上单调递减．故f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．

(2)F′(x)＝ (0<x≤3)，k＝F′(x0)＝≤ (0<x0≤3)恒成立a≥ (0<x0≤3)．当x0＝1时，－ x＋x0取得最大值.∴a≥，∴amin＝.