Question

【题目】已知数列{an}，其前n项和为Sn ．
（1）若{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，且{ }也为公差为d的等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}对任意m，n∈N* ， 且m≠n，都有 =am+an+ ，求证：数列{an}是等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得：an=a1+（n﹣1）d，Sn=na1+ d，

∴ = 成等差数列，公差为d，

∴ =dn，

∴ ，

解得：d= ，a1=﹣ ，

则an= n﹣

（2）解：令m=2，n=1，则 =2a2，即 =a2，

整理得：a1+a3=2a2，即a1，a2，a3成等差数列，

下面用数学归纳法证明{an}成等差数列，

假设a1，a2，…，ak成等差数列，其中k≥3，公差为d，

则令m=k，n=1， =ak+a1+d，

∴2Sk+1=（k+1）（ak+a1+d）=k（ak+a1）+a1+ak+（k+1）d=2Sk+a1+ak+（k+1）d，

∴2ak+1=a1+ak+（k+1）d=2（a1+kd），即ak+1=a1+kd，

∴a1，a2，…，ak，ak+1成等差数列，

则对于一切自然数，数列{an}是等差数列

【解析】（1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式表示出an与Sn ， 代入验证即可确定出数列{an}的通项公式；（2）令m=2，n=1确定出a1 ， a2 ， a3成等差数列，再利用数学归纳法证明对于一切n≥3的自然数，数列{an}是等差数列即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等差关系的确定(如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列)，还要掌握等差数列的性质(在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列)的相关知识才是答题的关键．