【题目】已知数列{an},其前n项和为Sn .
(1)若{an}是公差为d(d>0)的等差数列,且{ }也为公差为d的等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}对任意m,n∈N* , 且m≠n,都有 =am+an+
,求证:数列{an}是等差数列.
【答案】
(1)解:根据题意得:an=a1+(n﹣1)d,Sn=na1+ d,
∴ =
成等差数列,公差为d,
∴ =dn,
∴ ,
解得:d= ,a1=﹣
,
则an= n﹣
(2)解:令m=2,n=1,则 =2a2,即
=a2,
整理得:a1+a3=2a2,即a1,a2,a3成等差数列,
下面用数学归纳法证明{an}成等差数列,
假设a1,a2,…,ak成等差数列,其中k≥3,公差为d,
则令m=k,n=1, =ak+a1+d,
∴2Sk+1=(k+1)(ak+a1+d)=k(ak+a1)+a1+ak+(k+1)d=2Sk+a1+ak+(k+1)d,
∴2ak+1=a1+ak+(k+1)d=2(a1+kd),即ak+1=a1+kd,
∴a1,a2,…,ak,ak+1成等差数列,
则对于一切自然数,数列{an}是等差数列
【解析】(1)利用等差数列的通项公式及前n项和公式表示出an与Sn , 代入验证即可确定出数列{an}的通项公式;(2)令m=2,n=1确定出a1 , a2 , a3成等差数列,再利用数学归纳法证明对于一切n≥3的自然数,数列{an}是等差数列即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等差关系的确定(如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-
=d ,(n≥2,n∈N
)那么这个数列就叫做等差数列),还要掌握等差数列的性质(在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P( ,m)到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的方程;
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线,垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.
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【题目】某地区甲校高二年级有1 100人,乙校高二年级有900人,为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是50分,两校合格率均为100%)
甲校高二年级数学成绩:
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 10 | 25 | 35 | 30 | x |
乙校高二年级数学成绩:
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 15 | 30 | 25 | y | 5 |
(1)计算x,y的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分).
(2)若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分的为非优秀,根据以上统计数据写下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异?”
甲校 | 乙校 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3.D是线段BC的中点.
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值.
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【题目】在三棱锥P﹣ABC中,D为AB的中点.
(1)与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置并说明理由如下:
(2)若PA=PB,且△PCD为锐角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求证:AB⊥PC.
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【题目】已知函数f(x)=ln x,g(x)= (a>0),设F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的单调区间;
(2)若函数y=F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k≤恒成立,求实数a的最小值.
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【题目】(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx(a>0).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤0在区间[1,e]上恒成立,求实数a的取值范围.
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