【题目】若函数为定义域
上单调函数,且存在区间
(其中
),使得当
时,
的取值范围恰为
,则称函数
是
上的正函数,区间
叫做等域区间.
(1)已知是
上的正函数,求
的等域区间;
(2)试探究是否存在实数,使得函数
是
上的正函数?若存在,请求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知恒等式(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n .
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值;
(2)当n≥6时,求证: a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n<49n﹣2 .
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)= (f′(x)为f(x)的导函数),若方程g(f(x))=0有四个不等的实根,则a的取值范围是 .
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P( ,m)到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的方程;
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线,垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一个阶段的学习提出指导性建议,某老师现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析.下面是该学生7次考试的成绩.
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明.
(2)已知该学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该学生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该学生在学习数学、物理上的合理建议.
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【题目】某地区甲校高二年级有1 100人,乙校高二年级有900人,为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是50分,两校合格率均为100%)
甲校高二年级数学成绩:
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 10 | 25 | 35 | 30 | x |
乙校高二年级数学成绩:
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 15 | 30 | 25 | y | 5 |
(1)计算x,y的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分).
(2)若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分的为非优秀,根据以上统计数据写下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异?”
甲校 | 乙校 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |
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【题目】已知函数f(x)=ln x,g(x)= (a>0),设F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的单调区间;
(2)若函数y=F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k≤恒成立,求实数a的最小值.
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