Question

【题目】已知恒等式（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值；
（2）当n≥6时，求证： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n＜49n﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，则a0=1．

令x=1，则a0+a1+a2+…+a2n=3n，∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1．

∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

∴两边对x求导可得：n（1+x+x2）n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1．

令x=0，则n=a1，

由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

令x=2，则 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n．

∴a2+2a3+…+22n﹣2a2n= ﹣ ﹣

（2）证明：∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

∴两边对x求导可得：n（1+x+x2）n﹣1（1+2x）=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1，

再一次求导可得：n[（n﹣1）（1+2x）2+2]（1+x+x2）n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n（2n﹣1）a2nx2n﹣2，

=k（k﹣1），

令x=2可得： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2，

n≥6时，n[25（n﹣1）+2]＜7n﹣2，

∴ a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2＜49n﹣2．

【解析】（1）令x=0，则a0=1．令x=1，a0+a1+a2+…+a2n=3n ， 可得a1+a2+…+a2n ． 由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 两边对x求导可得：n（1+x+x2）n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 ． 令x=0，可得n=a1 ， 由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 令x=2，可得 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n ． 即可得出．（2）（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 由（1）可得：n（1+x+x2）n﹣1（1+2x）=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 ， 两边对x求导可得：n[（n﹣1）（1+2x）2+2]（1+x+x2）n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n（2n﹣1）a2nx2n﹣2 ， 令x=2可得： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2 ， n≥6时，n[25（n﹣1）+2]＜7n﹣2 ， 即可证明．