Question

【题目】已知函数f（x）= ，定义域为[0，2π]，g（x） 为f（x） 的导函数．
（1）求方程g（x）=0 的解集；
（2）求函数g（x） 的最大值与最小值；
（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，定义域为[0，2π]，

∴f′（x）=﹣ + ，

∵g（x） 为f（x） 的导函数，

∴由方程g（x）=0 得 =0，

解得 ，或x= ，

∴方程g（x）=0 的解集为{ ， }

（2）解：∵ + ﹣ =﹣2× ，

令g′（x）=0，解得x= 或x= ，

x	0	（0， ）		（ ， ）		（ ，2π）	2π
g′（x）		﹣	0	0	0	﹣
g（x）	1	↓		↑		↓	e﹣2π

∴g（x）的最大值为g（0）=1，

∴g（x）的最小值为g（ ）=﹣

（3）解：∵ ﹣a=g（x）﹣a，

∴函数F（x）=f（x）﹣ax在定义域上恰有2个极值点，

等价于g（x）﹣a=0在定义域外上恰有两个零点且零点处异号，

即y=a的图象恰恰有两个交点，

由（2）知F′（0）=g（0）﹣a=1﹣a，

F′（2π）=g（2π）﹣a=e﹣2π﹣a，

，

F′（2π）=g（2π）﹣a=e﹣2π﹣a，

若 ，则F′（2π）＜0，

∴F′（x）=0只有一个零点，不成立．∴ ．

若 ，即a= 在x= 处同号，不成立；

若F′（2π）≤0，则F′（x）=0有3个零点，不成立．

∴只有F′（2π）＞0，

∴满足条件为： ，

解得 ＜a＜e﹣2π或a= ．

∴实数a 的取值范围是{a| ＜a＜e﹣2π或a= }

【解析】（1）f′（x）=﹣ + ，由方程g（x）=0 得 =0，由此能求出方程g（x）=0 的解集．（2） + ﹣ =﹣2× ，令g′（x）=0，解得x= 或x= ，由此利用导数性质能求出g（x）的最值．（3）函数F（x）=f（x）﹣ax在定义域上恰有2个极值点，等价于y=a的图象恰恰有两个交点，由此利用分类讨论思想能求出实数a 的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．