【题目】四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值.
【答案】
(1)证明:连结BD,
∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,
∴BD=BC=DC=1,
∵E是CD中点,∴BE⊥DC,
∵AB∥DC,∴BE⊥AB,
∵PA⊥底面ABCD,BE平面ABCD,
∴BE⊥PA,
∵PA∩AB=A,∴BE⊥平面PAB,
∵BE平面PAB,∴平面PBE⊥平面PAB.
(2)解:以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,以过点E且垂直于平面ABCD的直线为z轴,
建立空间直角坐标系,
则P( ,﹣1,2),C(0, ,0),B( ,0,0),E(0,0,0),
=(﹣ , ,﹣2), =( ,0,0), =( ,﹣1,2),
设平面PBE的法向量 =(x,y,z),
则 ,取z=1,得 =(0,2,1),
设直线PC与平面PBE所成的角为θ,
则sinθ= = = .
∴直线PC与平面PBE所成的角的正弦值为 .
【解析】(1)连结BD,推导出BE⊥AB,BE⊥PA,从而BE⊥平面PAB,由此能证明平面PBE⊥平面PAB.(2)以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,以过点E且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线PC与平面PBE所成的角的正弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落在[495,510)内的产品为合格品,否则为不合格品.统计结果如下:
甲流水线样本的频数分布表
产品重量(克) | 频数 |
[490,495) | 6 |
[495,500) | 8 |
[500,505) | 14 |
[505,510) | 8 |
[510,515] | 4 |
乙流水线样本的频率分布直方图
(1)求甲流水线样本合格的频率;
(2)由以上统计数据完成下面2×2列联表,并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
分类 | 甲流水线 | 乙流水线 | 总计 |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
附:K2=.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图所示,在多面体ABCDE中,△BCD是边长为2的正三角形,AE∥DB,AE⊥DE,2AE=BD,DE=1,面ABDE⊥面BCD,F是CE的中点.
(Ⅰ)求证:BF⊥CD;
(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣D的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)= ,定义域为[0,2π],g(x) 为f(x) 的导函数.
(1)求方程g(x)=0 的解集;
(2)求函数g(x) 的最大值与最小值;
(3)若函数F(x)=f(x)﹣ax 在定义域上恰有2个极值点,求实数a 的取值范围.
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【题目】函数f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调减函数,则实数a的取值范围是( )
A. [﹣,+∞) B. (﹣∞,﹣3]∪[﹣,+∞)
C. (﹣∞,﹣3] D. [﹣,]
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【题目】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中用表示.
(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1,求及乙组同学投篮命中次数的方差;
(2)在(1)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.
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【题目】选修4﹣5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x﹣4|+|x+2|
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)若不等式f(x)≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知p:m∈R,且m+1≤0,q:x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题且p∨q为真命题,则m的取值范围是__________________.
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