Question

【题目】函数f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A. [﹣，+∞） B. （﹣∞，﹣3]∪[﹣，+∞）

C. （﹣∞，﹣3] D. [﹣，]

Answer 1

【答案】C

【解析】

求导函数，f（x）在[1，3]上为单调函数，则f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分离参数法，借助于导数，确定函数的最值，即可求实数a的取值范围．

求导数可得：f′（x）=x2+2ax+5

∵f（x）在[1，3]上为单调函数，∴f′（x）≤0在[1，3]上恒成立．

令f′（x）=0，即x2+2ax+5=0，则a=

设g（x）=，则g′（x）=

令g′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）

∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0

∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，

∵g（1）=﹣3 g（3）=﹣，g（）=﹣

∴g（x）的最大值为g（）=﹣，最小值为g（1）=﹣3

∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=﹣3

∴a≤﹣3

故选：C．