【题目】已知函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x﹣3|.
(Ⅰ)解不等式f(x)≥1;
(Ⅱ)当﹣9≤x≤4时,不等式f(x)<a成立,求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵|2x﹣1|﹣|x﹣3|≥1, ∴ 或
或
,
解得:x≥ 或x≤﹣3,
故不等式的解集是: .
(Ⅱ)f(x)=|2x﹣1|﹣|x﹣3|,
x≥3时,f(x)=x+2,f(x)的最大值是f(4)=5, ≤x≤3时,f(x)=3x﹣4,f(x)的最大值是f(3)=5,
﹣9≤x≤ 时,f(x)=﹣x﹣2,f(x)的最大值是f(﹣9)=7,
当﹣9≤x≤4时,不等式f(x)<a成立,
则a>7,
即a∈(7,+∞)
【解析】(Ⅰ)通讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出即可;(Ⅱ)通过讨论x的范围,求出各个区间上的f(x)的最大值,求出a的范围即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号).
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【题目】设常数,函数
.
(1) 若,求
的单调递减区间;
(2) 若为奇函数,且关于
的不等式
对所有的
恒成立,求实数
的取值范围;
(3) 当时,若方程
有三个不相等的实数根
、
、
,且
,求实数
的值.
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【题目】已知函数 ,x∈R.
(1)证明对a、b∈R,且a≠b,总有:|f(a)﹣f(b)|<|a﹣b|;
(2)设a、b、c∈R,且 ,证明:a+b+c≥ab+bc+ca.
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【题目】2017年存节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600 元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种. 方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸到2个红球,则打6折;若摸到1个红球,则打7折;若没摸到红球,则不打折.
方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.
(1)若两个顾客均分别消费了 600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;
(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算.
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【题目】调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据:出生时间在晚上的男婴为24人,女婴为8人;出生时间在白天的男婴为31人,女婴为26人.
(1)将2×2列联表补充完整.
性别 | 出生时间 | 总计 | |
晚上 | 白天 | ||
男婴 | |||
女婴 | |||
总计 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系?
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【题目】如图所示,在多面体ABCDE中,△BCD是边长为2的正三角形,AE∥DB,AE⊥DE,2AE=BD,DE=1,面ABDE⊥面BCD,F是CE的中点.
(Ⅰ)求证:BF⊥CD;
(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣D的余弦值.
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【题目】函数f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调减函数,则实数a的取值范围是( )
A. [﹣,+∞) B. (﹣∞,﹣3]∪[﹣
,+∞)
C. (﹣∞,﹣3] D. [﹣,
]
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【题目】为分析学生入学时的数学成绩对高一年级数学学习的影响,在高一年级学生中随机抽取10名学生,统计他们入学时的数学成绩和高一期末的数学成绩,如下表:
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
入学成绩x(分) | 63 | 67 | 45 | 88 | 81 | 71 | 52 | 99 | 58 | 76 |
高一期末 成绩y(分) | 65 | 78 | 52 | 82 | 92 | 89 | 73 | 98 | 56 | 75 |
(1)求相关系数r;
(2)求y关于x的线性回归方程;
(3)若某学生入学时的数学成绩为80分,试估计他高一期末的数学成绩.
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