【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落在[495,510)内的产品为合格品,否则为不合格品.统计结果如下:
甲流水线样本的频数分布表
产品重量(克) | 频数 |
[490,495) | 6 |
[495,500) | 8 |
[500,505) | 14 |
[505,510) | 8 |
[510,515] | 4 |
乙流水线样本的频率分布直方图
(1)求甲流水线样本合格的频率;
(2)由以上统计数据完成下面2×2列联表,并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
分类 | 甲流水线 | 乙流水线 | 总计 |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
附:K2=.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(1) ; (2)有
的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
【解析】
(1)利用频率分布直方图计算样本合格的频率;(2)完善2×2列联表,代入公式求解.
(1)由表知甲流水线样本中合格品数为8+14+8=30,故甲流水线样本中合格品的频率为=0.75.
(2)由(1)知甲流水线样本中合格品格数30,乙流水线样本中合格品数为0.9×40=36.
则2×2列联表如下:
分类 | 甲流水线 | 乙流水线 | 总计 |
合格品 | 30 | 36 | 66 |
不合格品 | 10 | 4 | 14 |
总计 | 40 | 40 | 80 |
由2×2列联表中的数据得K2的观测值为
K=≈3.12>2.706.
故有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
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【题目】已知f(x)=ln(mx+1)﹣2(m≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若m>0,g(x)=f(x)+ 存在两个极值点x1 , x2 , 且g(x1)+g(x2)<0,求m的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:BE⊥平面PAC.
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【题目】某公司过去五个月的广告费支出与销售额
(单位:万元)之间有下列对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
40 | 60 | 50 | 70 |
工作人员不慎将表格中的第一个数据丢失.已知
对
呈线性相关关系,且回归方程为
,则下列说法:①销售额
与广告费支出
正相关;②丢失的数据(表中
处)为30;③该公司广告费支出每增加1万元,销售额一定增加
万元;④若该公司下月广告投入8万元,则销售
额为70万元.其中,正确说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤.
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【题目】极坐标系中椭圆C的方程为ρ2= ,以极点为原点,极轴为x轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度.
(1)若椭圆上任一点坐标为P(x,y),求 的取值范围;
(2)若椭圆的两条弦AB,CD交于点Q,且直线AB与CD的倾斜角互补,求证:|QA||QB|=|QC||QD|.
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【题目】《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为( )
A. (a>0,b>0)
B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
C. (a>0,b>0)
D. (a>0,b>0)
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【题目】已知抛物线的焦点为F,过F作平行于x轴的直线交抛物线于A,B两点(A在B的左侧),若△AOB的面积为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设P是抛物线C的准线上一点,Q是抛物线上的一点,若PF⊥QF,求证:直线PQ与抛物线相切.
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【题目】四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值.
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