Question

【题目】已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若m＞0，g（x）=f（x）+ 存在两个极值点x1 ， x2 ， 且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得mx+1＞0，f′（x）= ，

①若m＞0时，由mx+1＞0，得：x＞﹣ ，恒有f′（x）＞0，

∴f（x）在（﹣ ，+∞）递增；

②若m＜0，由mx+1＞0，得：x＜﹣ ，恒有f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）递减；

综上，m＞0时，f（x）在（﹣ ，+∞）递增，

m＜0时，f（x）在（﹣∞，﹣ ）递减

（2）解：g（x）=ln（mx+1）+ ﹣2，（m＞0），

∴g′（x）= ，

令h（x）=mx2+4m﹣4，

m≥1时，h（x）≥0，g′（x）≥0，g（x）无极值点，

0＜m＜1时，令h（x）=0，得：x1=﹣2 或x2=2 ，

由g（x）的定义域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，

∴﹣2 ＞﹣ 且﹣2 ≠﹣2，解得：m≠ ，

∴x1，x2为g（x）的两个极值点，

即x1=﹣2 ，x2=2 ，

且x1+x2=0，x1x2= ，得：

g（x1）+g（x2）=ln（mx1+1）+ ﹣2+ln（mx2+1）+ ﹣2

=ln（2m﹣1）2+ ﹣2，

令t=2m﹣1，F（t）=lnt2+ ﹣2，

①0＜m＜ 时，﹣1＜t＜0，

∴F（t）=2ln（﹣t）+ ﹣2，

∴F′（t）= ＜0，

∴F（t）在（﹣1，0）递减，F（t）＜F（﹣1）＜0，

即0＜m＜ 时，g（x1）+g（x2）＜0成立，符合题意；

② ＜m＜1时，0＜t＜1，

∴F（t）=2lnt+ ﹣2，F′（t）= ＜0，

∴F（t）在（0，1）递减，F（t）＞F（1）=0，

∴ ＜m＜1时，g（x1）+g（x2）＞0，不合题意，

综上，m∈（0， ）

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性；（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出m的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．